問題詳情:
在實數集R上定義運算:
(Ⅰ)求F(x)的解析式;
(Ⅱ)若F(x)在R上是減函數,求實數a的取值範圍;
(Ⅲ)若a=-3,在F(x)的曲線上是否存在兩點,使得過這兩點的切線互相垂直?若存在,求出切線方程;若不
存在,説明理由.
【回答】
解析:(I)由題意,F(x)=f(x) (a-g(x))…
=ex(a-e-x-2x2)
=aex-1-2x2ex.…
(II)∵F′(x)=aex-2x2ex-4xex=-ex(2x2+4x-a),
當x∈R時,F(x)在減函數,
∴F′(x)≤0對於x∈R恆成立,即
-ex(2x2+4x-a)≤0恆成立, ∵ex>0,
∴2x2+4x-a≥0恆成立,
∴△=16-8(-a) ≤0,
∴a≤-2.
(III)當a=-3時,F(x)= -3ex-1-2x2ex,
設P(x1,y1),Q(x2,y2)是F(x)曲線上的任意兩點,
∵F′(x)= -ex(2x2+4x+3)=-ex[2(x+1)2+1]<0,
∴ F′(x1)·F′(x2)>0,
∴F′(x1)·F′(x2)= -1 不成立
∴F(x)的曲線上不存的兩點,使得過這兩點的切線點互相垂直.
知識點:基本初等函數I
題型:解答題