已知函數f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在實數集R上單調遞增，求a的取值範圍；(2)是否存在實數a，...

問題詳情：

已知函數f(x)＝x3－ax－1.

(1)若f(x)在實數集R上單調遞增，求a的取值範圍；

(2)是否存在實數a，使f(x)在(－1,1)上單調遞減，若存在，求出a的取值範圍，若不存在，請説明理由．

【回答】

(1) (－∞，0]．(2) 存在實數a，使f(x)在(－1,1)上單調遞減，且a的取值範圍是[3，＋∞).

【解析】

【分析】

(1)求出導函數，由題f′(x)≥0在R上恆成立，然後參變分離求解a的取值即可；

(2) 假設存在實數a，由題意易知f′(x)≤0在(－1,1)上恆成立，再次參變分離可的結果.

【詳解】(1)f′(x)＝3x2－a，

因為f(x)在R上增函數，所以f′(x)≥0在R上恆成立．

即3x2－a≥0在R上恆成立．

即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.

當a＝0時，f(x)＝x3－1在R上單調遞增，符合題意．

所以a的取值範圍是(－∞，0]．

(2)假設存在實數a，使f(x)在(－1,1)上單調遞減，

則f′(x)≤0在(－1,1)上恆成立．

即3x2－a≤0在(－1,1)上恆成立，即a≥3x2，

又因為在(－1,1)上，0≤3x2<3，所以a≥3.

當a＝3時，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，

所以f(x)在(－1,1)上單調遞減，即a＝3符合題意，

所以存在實數a，使f(x)在(－1,1)上單調遞減，且a的取值範圍是[3，＋∞)

知識點：導數及其應用

題型：解答題