（2018·*蘇中考模擬）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，點E在AC上（且不與點A、C重合），...

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問題詳情：

（2018·*蘇中考模擬）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，點E在AC上（且不與點A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．

（1）求*：△AEF是等腰直角三角形；

（2）如圖2，將△CED繞點C逆時針旋轉，當點E在線段BC上時，連接AE，求*：AF=AE；

（3）如圖3，將△CED繞點C繼續逆時針旋轉，當平行四邊形ABFD為菱形，且△CED在△ABC的下方時，若AB=2，CE=2，求線段AE的長．

【回答】

（1）*見解析；（2）*見解析；（3）4.

【解析】

解：（1）如圖1．∵四邊形ABFD是平行四邊形，∴AB=DF．∵AB=AC，∴AC=DF．∵DE=EC，∴AE=EF．∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形；

（2）如圖2，連接EF，DF交BC於K．∵四邊形ABFD是平行四邊形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED．∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE．∵∠DKC=∠C，∴DK=DC．∵DF=AB=AC，∴KF=AD．在△EKF和△EDA中，，∴△EKF≌△EDA（SAS），∴EF=EA，∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE．

（3）如圖3，當AD=AC=AB時，四邊形ABFD是菱形，設AE交CD於H，依據AD=AC，ED=EC，可得AE垂直平分CD，而CE=2，∴EH=DH=CH=，Rt△ACH中，AH==3，∴AE=AH+EH=4．

點睛：本題屬於四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和*質、等腰直角三角形的判定和*質、平行四邊形的*質、菱形的*質以及勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和*質，尋找全等的條件是解題的難點．

知識點：平行四邊形

題型：綜合題

Tags：BAC90 abc Rt 等腰 AC

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