在△ABC中，∠ACB=90°，經過點C的⊙O與斜邊AB相切於點P．（1）如圖①，當點O在AC上時，試説明2∠...

問題詳情：

在△ABC中，∠ACB=90°，經過點C的⊙O與斜邊AB相切於點P．

（1）如圖①，當點O在AC上時，試説明2∠ACP=∠B；

（2）如圖②，AC=8，BC=6，當點O在△ABC外部時，求CP長的取值範圍．

【回答】

【解答】解：（1）當點O在AC上時，OC為⊙O的半徑，

∵BC⊥OC，且點C在⊙O上，

∴BC與⊙O相切．

∵⊙O與AB邊相切於點P，

∴BC=BP，[來源:學科網]

∴∠BCP=∠BPC=，

∵∠ACP+∠BCP=90°，

∴∠ACP=90°﹣∠BCP=90°﹣=∠B．′

即2∠ACP=∠B；

（2）在△ABC中，∠ACB=90°，AB==10，

如圖，當點O在CB上時，OC為⊙O的半徑，

∵AC⊥OC，且點C在⊙O上，

∴AC與⊙O相切，

連接OP、AO，

∵⊙O與AB邊相切於點P，

∴OP⊥AB，

設OC=x，則OP=x，OB=BC﹣OC=6﹣x，

∵AC=AP，

∴BP=AB﹣AP=10﹣8=2，

在△OPA中，∠OPA=90°，

根據勾股定理得：OP2+BP2=OB2，即x2+22=（6﹣x）2，

解得：x=，

在△ACO中，∠ACO=90°，AC2+OC2=AO2，

∴AO==．

∵AC=AP，OC=OP，

∴AO垂直平分CP，

∴根據面積法得：CP=2×=，則符合條件的CP長大於．

由題意可知，當點P與點A重合時，CP最長，

綜上，當點O在△ABC外時，＜CP≤8．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題