如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．點E與點B在AC的同側，且AE⊥AC．（1）如圖1，點...

問題詳情：

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．點E與點B在AC的同側，且AE⊥AC．

（1）如圖1，點E不與點A重合，連結CE交AB於點P．設AE=x，AP=y，求y關於x的函數解析式；

（2）是否存在點E，使△PAE與△ABC相似，若存在，求AE的長；若不存在，説明理由；

（3）如圖2，過點B作BD⊥AE，垂足為D．將以點E為圓心，ED為半徑的圓記為⊙E．若點C到⊙E上點的距離的最小值為8，求⊙E的半徑．

【回答】

∵AE⊥AC，∠ACB=90°，∴AE∥BC，∴=，

∵BC=6，AC=8，∴AB==10，∵AE=x，AP=y，

∴=，∴y=（x＞0）；(3分)

（2）∵∠ACB=90°，而∠PAE與∠PEA都是鋭角，

∴要使△PAE與△ABC相似，只有∠EPA=90°，即CE⊥AB，(判斷對應得相似 4分)

此時△ABC∽△EAC，則=，

∴AE=．(5分)

故存在點E，使△ABC∽△EAP，此時AE=；

（3）∵點C必在⊙E外部，

∴此時點C到⊙E上點的距離的最小值為CE﹣DE． 

設AE=x．①當點E在線段AD上時，ED=6﹣x，EC=6﹣x+8=14﹣x，

∴x2+82=（14﹣x）2，解得：x=，

即⊙E的半徑為．(7分)

②當點E在線段AD延長線上時，ED=x﹣6，EC=x﹣6+8=x+2，

∴x2+82=（x+2）2，解得：x=15，即⊙E的半徑為9．(9分)

∴⊙E的半徑為9或．

知識點：相似三角形

題型：綜合題