（1）【問題發現】如圖1，△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EFC＝90°，點E與點A重合，則...

問題詳情：

（1）【問題發現】如圖1，△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EFC＝90°，點E與點A重合，則線段BE與AF的數量關係為　   　；

（2）【拓展研究】在（1）的條件下，將△CEF繞點C旋轉，連接BE，AF，線段BE與AF的數量關係有無變化？僅就圖2的情形給出*；

（3）【問題發現】當AB＝AC＝2，△CEF旋轉到B，E，F三點共線時候，直接寫出線段AF的長．

【回答】

解：（1）BE＝AF．理由如下：

如圖1中，

∵△AFC是等腰直角三角形，

∴AC＝AF

∵AB＝AC

∴BE＝AB＝AF；

（2）BE＝AF，理由如下：

如圖2中，

在Rt△ABC中，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∴sin∠ABC＝＝．

在Rt△EFC中，∠FEC＝∠FCE＝45°，∠EFC＝90°，

∴sin∠FEC＝＝，

∴＝，

又∵∠FEC＝∠ACB＝45°，

∴∠FEC﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE．

即∠FCA＝∠ECB．

∴△ACF∽△BCE，

∴＝＝，

∴BE＝AF；

（3）當點E在線段AF上時，如圖2，

由（1）知，CF＝EF＝，

在Rt△BCF中，CF＝，BC＝2，

根據勾股定理得，BF＝，

∴BE＝BF﹣EF＝﹣，

由（2）知，BE＝AF，

∴AF＝﹣1，

當點E在線段BF的延長線上時，如圖3，

在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∴sin∠ABC＝＝，

在Rt△EFC中，∠FEC＝∠FCE＝45°，

在Rt△CEF中，sin∠FEC＝＝，

∴＝，

∵∠FCE＝∠ACB＝45°，

∴∠FCB+∠ACB＝∠FCB+∠FCE，

∴∠FCA＝∠ECB，

∴△ACF∽△BCE，

∴＝＝，

∴BE＝AF，

由（1）知，CF＝EF＝，

在Rt△BCF中，CF＝，BC＝2，

根據勾股定理得，BF＝，

∴BE＝BF+EF＝+，

由（2）知，BE＝AF，

∴AF＝+1．

即：當正方形CDEF旋轉到B，E，F三點共線時候，線段AF的長為﹣1或+1．

知識點：解直角三角形與其應用

題型：解答題