如圖，在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，點E是BC上一個動點（點E與B、C不...

問題詳情：

如圖，在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，點E是BC上一個動點（點E與B、C不重合），連AE，若a、b滿足，且c是不等式組的最大整數解．

（1）求a，b，c的長；

（2）若AE平分△ABC的周長，求∠BEA的大小；

（3）是否存在線段AE將三角形ABC的周長和麪積同時平分？若存在，求出BE的長；若不存在，請説明理由．

【回答】

【考點】等腰直角三角形；解二元一次方程組；一元一次不等式組的整數解．

【分析】（1）根據二元一次方程組的解法得出a，b的值，再利用不等式組的解法得出x的取值範圍，進而得出c的值；

（2）利用（1）中所求以及等腰直角三角形的*質得出AC=CE，進而得出*；

（3）分別根據AE平分三角形ABC的周長和平分面積時不能同時符合要求進而得出*．

【解答】解：（1）解方程組

得：，

解不等式組，

解得：﹣4≤x＜11，

∵滿足﹣4≤x＜11的最大正整數為10，

∴c=10，∴a=8，b=6，c=10；

（2）∵AE平分△ABC的周長，△ABC的周長為24，

∴AB+BE=×24=12，

∴EC=6，BE=2，

∴AC=CE=6，

∴△AEC為等腰直角三角形，

∴∠AEB=45°，∠BEA=135°；

（3）不存在．

∵當AE將△ABC分成周長相等的△AEC和△ABE時，EC=6，BE=2，

此時，△AEC的面積為：，

△ABE的面積為：面積不相等，

∴AE平分△ABC的周長時，不能平分△ABC的面積，

同理可説明AE平分△ABC的面積時，不能平分△ABC的周長．

知識點：一元一次不等式組

題型：解答題