問題詳情:
如圖,等邊中,AB=6,點D在BC上,BD=4,點E為邊AC上一動點(不與點C重合),關於DE的軸對稱圖形為.
(1)當點F在AC上時,求*:DF//AB;
(2)設的面積為S1,的面積為S2,記S=S1-S2,S是否存在最大值?若存在,求出S的最大值;若不存在,請説明理由;
(3)當B,F,E三點共線時。求AE的長。
【回答】
(1)見解析;(2)存在最大值,最大值為;(3).
【解析】
(1)由摺疊的*質和等邊三角形的*質可得∠DFC=∠A,可*DF∥AB;
(2)過點D作DM⊥AB交AB於點M,由題意可得點F在以D為圓心,DF為半徑的圓上,由△ACD的面積為S1的值是定值,則當點F在DM上時,S△ABF最小時,S最大;
(3)過點D作DG⊥EF於點G,過點E作EH⊥CD於點H,由勾股定理可求BG的長,通過*△BGD∽△BHE,可求EC的長,即可求AE的長.
【詳解】
解:(1)∵△ABC是等邊三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,
由摺疊可知:DF=DC,且點F在AC上,
∴∠DFC=∠C=60°,
∴∠DFC=∠A,
∴DF∥AB;
(2)存在,如圖,
過點D作DM⊥AB交AB於點M,
∵AB=BC=6,BD=4,∴CD=2,∴DF=2,
∴點F在以D為圓心,DF為半徑的圓上,
∴當點F在DM上時,S△ABF最小,
∵BD=4,DM⊥AB,∠ABC=60°,
∴MD=2 ,
∴S△ABF的最小值= ,
∴S最大值=.
(3)如圖,過點作於點G,過點E作EH⊥CD於點H,
∵△CDE關於DE的軸對稱圖形為△FDE,
∴DF=DC=2,∠EFD=∠C=60°,
∵GD⊥EF,∠EFD=60°,
∴FG=1,DG=FG=,
∵BD2=BG2+DG2,
∴16=3+(BF+1)2,
∴BF=-1,
∴BG=,
∵EH⊥BC,∠C=60°,
∴CH=,EH=HC=,
∵∠GBD=∠EBH,∠BGD=∠BHE=90°,
∴△BGD∽△BHE,
∴,
∴,
∴EC=
∴AE=AC-EC=
【點睛】
本題是三角形綜合題,考查了等邊三角形的*質,摺疊的*質,勾股定理,相似三角形的判定和*質,熟練掌握是解題的關鍵.
知識點:解直角三角形與其應用
題型:解答題