在正方形ABCD中，E是邊CD上一點（點E不與點C、D重合），連結BE．【感知】如圖①，過點A作AF⊥BE交B...

問題詳情：

在正方形ABCD中，E是邊CD上一點（點E不與點C、D重合），連結BE．

【感知】如圖①，過點A作AF⊥BE交BC於點F．易*△ABF≌△BCE．（不需要*）

【探究】如圖②，取BE的中點M，過點M作FG⊥BE交BC於點F，交AD於點G．

（1）求*：BE=FG．

（2）連結CM，若CM=1，則FG的長為　 　．

【應用】如圖③，取BE的中點M，連結CM．過點C作CG⊥BE交AD於點G，連結EG、MG．若CM=3，則四邊形GMCE的面積為　 　．

【回答】

【解答】解：感知：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠CBE=90°，

∵AF⊥BE，

∴∠ABE+∠BAF=90°，

∴∠BAF=∠CBE，

在△ABF和△BCE中，，

∴△ABF≌△BCE（ASA）；

探究：（1）如圖②，

過點G作GP⊥BC於P，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，

∴四邊形ABPG是矩形，

∴PG=AB，∴PG=BC，

同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，

在△PGF和△CBE中，，

∴△PGF≌△CBE（ASA），

∴BE=FG，

（2）由（1）知，FG=BE，

連接CM，

∵∠BCE=90°，點M是BE的中點，

∴BE=2CM=2，

∴FG=2，

故*為：2．

應用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6，

∴ME=3，

同探究（1）得，CG=BE=6，

∵BE⊥CG，

∴S四邊形CEGM=CG×ME=×6×3=9，

故*為9．

【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的*質，同角的餘角相等，全等三角形的判定和*質，直角三角形的*質，判斷出CG=BE是解本題的關鍵．

知識點：各地中考

題型：解答題