如圖，△ABC是等邊三角形，點D在邊AC上（點D不與點A，C重合），點E是*線BC上的一個動點（點E不與點B，...

問題詳情：

如圖，△ABC是等邊三角形，點D在邊AC上（點D不與點A，C重合），點E是*線BC上的一個動點（點E不與點B，C重合），連接DE，以DE為邊作等邊△DEF，連接CF.

（1）如圖1，當DE的延長線與AB的延長線相交，且點C，F作直線DE的同側時，過點D作DG∥AB，DG交BC於點G，求*CF=EG；

（2）如圖2，當DE的反向延長線與AB的反向延長線相交，且點C，F在直線DE的同側時，求*CD=CE+CF；

（3）如圖3，當DE的反向延長線與線段AB相交，且點C，F在直線DE的異側時，猜想CD、CE、CF之間的等量關係，並説明理由.

【回答】

（1）*：如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60°. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

∵DG∥AB，∴∠DGC=∠B.

∴∠DGC=∠DCG=60°.  ∴△DGC是等邊三角形. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分

∴DC=DG，∠CDG=60°.

∵△DEF是等邊三角形，

∴DE=DF，∠EDF=60°

∴∠EDG=60°-∠GDF，∠FDC=60°-∠GDF

∴∠EDG=∠FDC.  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分

∴△EDG≌△FDC.  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分

∴FC=EG.  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分

（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60°.

如圖2，過點D作DG∥AB，DG交BC於點G.

∴∠DGC=∠B. ∴∠DGC=∠DCG=60°

∴△DGC是等邊三角形. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分

∴CD=DG=CG，∠CDG=60°

∵△DEF是等邊三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°，

∴∠EDG=60°-∠CDE，∠FDC=60°-∠CDE

∴∠EDG=∠FDC. ∴△EDG≌△FDC.  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分

∴EG=FC.    ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分

∵CG=CE+EG，∴CG=CE+FC. ∴CD=CE+FC. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分

（3）如圖3，猜想DC、EC、FC之間的等量關係是FC=DC+EC.

*如下：

∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60°.

過點D作DG∥AB，DG交BC於點G.

∴∠DGC=∠B. ∴∠DGC=∠DCG=60°

∴△DGC是等邊三角形.

∴CD=DG=CG，∠CDG=60°.  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分

∵△DEF是等邊三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°，

∴∠EDG=60°+∠CDE，∠FDC=60°+∠CDE

∴∠EDG=∠FDC. ∴△EDG≌△FDC.  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分

∴EG=FC. ∵EG=EC+CG，∴FC=EC+DC.  

知識點：等腰三角形

題型：綜合題