在正方形ABCD中，E是邊CD上一點（點E不與點C、D重合），連結BE．（感知）如圖①，過點A作AF⊥BE交B...

問題詳情：

在正方形ABCD中，E是邊CD上一點（點E不與點C、D重合），連結BE．

（感知）如圖①，過點A作AF⊥BE交BC於點F．易*△ABF≌△BCE．（不需要*）

（探究）如圖②，取BE的中點M，過點M作FG⊥BE交BC於點F，交AD於點G．

（1）求*：BE=FG．

（2）連結CM，若CM=1，則FG的長為　   　．

（應用）如圖③，取BE的中點M，連結CM．過點C作CG⊥BE交AD於點G，連結EG、MG．若CM=3，則四邊形GMCE的面積為　   　．

【回答】

（1）*見解析；（2）2，9.

【解析】感知：利用同角的餘角相等判斷出∠BAF=∠CBE，即可得出結論；

探究：（1）判斷出PG=BC，同感知的方法判斷出△PGF≌CBE，即可得出結論；

（2）利用直角三角形的斜邊的中線是斜邊的一半，

應用：藉助感知得出結論和直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半即可得出結論．

【詳解】感知：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠CBE=90°，

∵AF⊥BE，

∴∠ABE+∠BAF=90°，

∴∠BAF=∠CBE，

在△ABF和△BCE中，

，

∴△ABF≌△BCE（ASA）；

探究：（1）如圖②，

過點G作GP⊥BC於P，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，

∴四邊形ABPG是矩形，

∴PG=AB，∴PG=BC，

同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，

在△PGF和△CBE中，

，

∴△PGF≌△CBE（ASA），

∴BE=FG；

（2）由（1）知，FG=BE，

連接CM，

∵∠BCE=90°，點M是BE的中點，

∴BE=2CM=2，

∴FG=2，

故*為：2．

應用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6，

∴ME=3，

同探究（1）得，CG=BE=6，

∵BE⊥CG，

∴S四邊形CEGM=CG×ME=×6×3=9，

故*為：9．

【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的*質，同角的餘角相等，全等三角形的判定和*質，直角三角形的*質，熟練掌握相關的*質與定理、判斷出CG=BE是解本題的關鍵．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題