如圖1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝，點D為BC邊上的動點（點D不與點B，C重合）．以D為頂點作...

問題詳情：

如圖1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝，點D為BC邊上的動點（點D不與點B，C重合）．以D為頂點作∠ADE＝∠B，*線DE交AC邊於點E，過點A作AF⊥AD交*線DE於點F，連接CF．

（1）求*：△ABD∽△DCE；

（2）當DE∥AB時（如圖2），求AE的長；

（3）點D在BC邊上運動的過程中，是否存在某個位置，使得DF＝CF？若存在，求出此時BD的長；若不存在，請説明理由．

【回答】

【解析】（1）*：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，

∴∠BAD＝∠CDE，

∴△BAD∽△DCE．

（2）解：如圖2中，作AM⊥BC於M．

在Rt△ABM中，設BM＝4k，則AM＝BM•tanB＝4k×＝3k，

由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，

∴202＝（3k）2+（4k）2，

∴k＝4或﹣4（捨棄），

∵AB＝AC，AM⊥BC，

∴BC＝2BM＝2•4k＝32，

∵DE∥AB，

∴∠BAD＝∠ADE，

∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，

∴∠BAD＝∠ACB，

∵∠ABD＝∠CBA，

∴△ABD∽△CBA，

∴＝，

∴DB＝＝＝，

∵DE∥AB，

∴＝，

∴AE＝＝＝．

（3）點D在BC邊上運動的過程中，存在某個位置，使得DF＝CF．

理由：作FH⊥BC於H，AM⊥BC於M，AN⊥FH於N．則∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，

∴四邊形AMHN為矩形，

∴∠MAN＝90°，MH＝AN，

∵AB＝AC，AM⊥BC，

∵AB＝20，tanB＝

∴BM＝CM＝16，

∴BC＝32，

在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝＝＝12，

∵AN⊥FH，AM⊥BC，

∴∠ANF＝90°＝∠AMD，

∵∠DAF＝90°＝∠MAN，

∴∠NAF＝∠MAD，

∴△AFN∽△ADM，

∴＝＝tan∠ADF＝tanB＝，

∴AN＝AM＝×12＝9，

∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝16﹣9＝7，

當DF＝CF時，由點D不與點C重合，可知△DFC為等腰三角形，

∵FH⊥DC，

∴CD＝2CH＝14，

∴BD＝BC﹣CD＝32﹣14＝18，

∴點D在BC邊上運動的過程中，存在某個位置，使得DF＝CF，此時BD＝18．

知識點：相似三角形

題型：解答題