如圖，在邊長為l的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，點P是邊AD上一點（與點A、D不重合），*線PE與BC的...

問題詳情：

如圖，在邊長為l的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，點P是邊AD上一點（與點A、D不重合），*線PE與BC的延長線交於點Q．

（1）求*：△PDE≌△QCE；

（2）過點E作EF∥BC交PB於點F，連結AF，當PB＝PQ時，

①求*：四邊形AFEP是平行四邊形；

②請判斷四邊形AFEP是否為菱形，並説明理由．

【回答】

【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠D＝∠ECQ＝90°，

∵E是CD的中點，

∴DE＝CE，

又∵∠DEP＝∠CEQ，

∴△PDE≌△QCE（ASA）；

（2）①∵PB＝PQ，

∴∠PBQ＝∠Q，

∵AD∥BC，

∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，

∵△PDE≌△QCE，

∴PE＝QE，

∵EF∥BQ，

∴PF＝BF，

∴在Rt△PAB中，AF＝PF＝BF，

∴∠APF＝∠PAF，

∴∠PAF＝∠EPD，

∴PE∥AF，

∵EF∥BQ∥AD，

∴四邊形AFEP是平行四邊形；

②當AP＝時，四邊形AFEP是菱形．

設AP＝x，則PD＝1﹣x，

若四邊形AFEP是菱形，則PE＝PA＝x，

∵CD＝1，E是CD中點，

∴DE＝，

在Rt△PDE中，由PD2+DE2＝PE2得（1﹣x）2+（）2＝x2，

解得x＝，

即當AP＝時，四邊形AFEP是菱形．

【點評】本題是四邊形的綜合問題，解題的關鍵是掌握正方形的*質、全等三角形的判定與*質、直角三角形的*質、平行四邊形與菱形的判定、*質等知識點．

知識點：各地中考

題型：解答題