已知函數f（x）=aln（x+1）﹣x2，在（1，2）內任取兩個實數x1，x2（x1≠x2），若不等式＞1恆成...

問題詳情：

已知函數f（x）=aln（x+1）﹣x2，在（1，2）內任取兩個實數x1，x2（x1≠x2），若不等式＞1恆成立，則實數a的取值範圍為（　　）

A．（28，+∞）      B．[15，+∞）      C．[28，+∞）      D．（15，+∞）

【回答】

C【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．

【分析】求得x1+1 和x2+1在區間（2，3）內，將原不等式移項，可得＞0，即有函數y=f（x）﹣x在（2，3）內遞增．求得函數y的導數，可得y′≥0在（2，3）恆成立，即a≥2x2+3x+1在（2，3）內恆成立，求出函數y=2x2+3x+1在[2，3]上的最大值即可．

【解答】解：因實數x1，x2在區間（1，2）內，

故x1+1 和x2+1在區間（2，3）內．

不等式＞1恆成立，

即為＞0，

即有函數y=f（x）﹣x在（2，3）內遞增．

函數y=f（x）﹣x=aln（x+1）﹣x2﹣x的導數為y′=﹣2x﹣1，

即有y′≥0在（2，3）恆成立．

即a≥（2x+1）（x+1）在（2，3）內恆成立．

由於二次函數y=2x2+3x+1在[2，3]上是單調增函數，

故x=3時，y=2x2+3x+1 在[2，3]上取最大值為28，即有a≥28，

故*為[28，+∞）．

故選：C．

知識點：導數及其應用

題型：選擇題