設函數f（x）=﹣x3+2ax2﹣3a2x+b（0＜a＜1）（1）求函數f（x）的單調區間和極值；（2）當x=...

問題詳情：

設函數f（x）=﹣x3+2ax2﹣3a2x+b（0＜a＜1）

（1）求函數f（x）的單調區間和極值；

（2）當x=時，f（x）有極小值，求a，b的值．

【回答】

【考點】6B：利用導數研究函數的單調*；6D：利用導數研究函數的極值．

【分析】（1）對f（x）求導，利用導數來判斷f（x）的增減*，並求出極值；

（2）由（1）的結論，求出a、b的值．

【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x3+2ax2﹣3a2x+b（0＜a＜1），

∴f′（x）=﹣x2+4ax﹣3a2，令f′（x）=0，解得x=a或x=3a，列表如下：

由表可知：當x∈（﹣∞，a）時，函數f（x）為減函數，

當x∈（3a，+∞）時，函數f（x）也為減函數，

當x∈（a，3a）時，函數f（x）為增函數；

∴函數f（x）的單調減區間為（﹣∞，a），（3a，+∞），單調增區間為（a，3a）；

當x=a時，f（x）的極小值為﹣a3+b，

當x=3a時，f（x）的極大值為b；

（2）當x=時，f（x）有極小值，

根據（1）得，a=，且﹣a3+b=，

即﹣×+b=，解得b=；

綜上，a=，b=．

知識點：導數及其應用

題型：解答題