如圖，在矩形ABCD中，AD=10，E為AB上一點，且AE=AB=a，連結DE，F是DE中點，連結BF，以BF...

問題詳情：

如圖，在矩形ABCD中，AD=10，E為AB上一點，且AE= AB=a，連結DE，F是DE中點，連結BF，以BF為直徑作⊙O．

（1）用a的代數式表示DE2=________，BF2=________；   

（2）求*：⊙O必過BC的中點；   

（3）若⊙O與矩形ABCD各邊所在的直線相切時，求a的值；   

（4）作A關於直線BF的對稱點A′，若A′落在矩形ABCD內部（不包括邊界），則a的取值範圍________．（直接寫出*）   

【回答】

（1）a2+100； （2）*：如圖1，設⊙O交BC於H，連接FH， ∵BF是⊙O的直徑， ∴∠BHF=90°， ∴∠ABC=∠BHF=∠AGF=90°， ∴四邊形BGFH是矩形， ∴BH=GF= AD= BC， ∴H是BC的中點， 即：⊙O必過BC的中點 （3）解：分兩種情況： ①如圖2，當⊙O與邊CD相切時，設切點為M，連接OM、FH交於N，則OM⊥CD， ∴OM=ON+MN= +5= ， ∵OM⊥FH， ∴NF= FH= × = a， Rt△ONF中，ON2+NF2=OF2=OM2  ， ∴ +（ ）2= ， a= ， ∵a＞0， ∴a= ， ②如圖3，當⊙O與邊AD相切時，設切點為Q， 連接OQ，則OQ⊥AD，連接FG，交OQ於P， ∴OQ=OP+PQ= BG+AG= + = a， 由（1）知：   且BF=2OQ， ∴25+ a2=（2× a）2  ， a= ， 綜上所述，若⊙O與矩形ABCD各邊所在的直線相切時，a的值為 或 （4）＜a＜ 【考點】線段垂直平分線的*質，勾股定理，矩形的*質，圓的綜合題，軸對稱的*質                【解析】【解答】解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠A=90°， 在Rt△AED中，AE=a，AD=10， 由勾股定理得：ED2=AE2+AD2=a2+102=a2+100， 設⊙O交AB於G，連接FG， ∵BF是⊙O的直徑， ∴∠BGF=90°， ∵∠A=90°， ∴∠BGF=∠A， ∴FG∥AD， ∵F是ED的中點， ∴GF= AD=5，EG=AG= a， ∵AE= AB=a， ∴AB=4a， ∴BG=4a﹣ a= a， 由勾股定理得：BF2=BG2+GF2  ， ∴BF2= +52= +25= ， 故*為：a2+100； ； ⑷如圖4，當A的對稱點A′恰好在邊BD上時，連接AA′交BF於H，連接AF、A′F，過F作MN⊥BC，交BC於M，交AD於N，則MN⊥AD， ∵A關於直線BF的對稱點A′， ∴BF是AA′的垂直平分線， ∴AF=A′F，AB=A′B=4a， 由（1）（2）得：FN= a，FM= a，A′M=4a﹣5，AN=5， 由勾股定理得： =（4a﹣5）2+ ， 解得：a1=0（舍），a2= ， ∴當a＜ 時，A′落在矩形ABCD外部（包括邊界）， 如圖5，當A′落在邊CD上時，連接AA′、A′B，過F作MG⊥AB，則MG⊥CD， 設*線BF交AD於N， 易得A′G=AM=DG= a，A′C=3a， ∵BF是AA′的垂直平分線， ∴AB=A′B， 則（4a）2=102+（3a）2  ， a= ， ∴a的取值範圍是： ＜a＜ ， 故*為： ＜a＜ ． 【分析】（1）根據勾股定理得ED2=AE2+AD2=a2+102=a2+100，再Rt△BGF中，由勾股定理得由勾股定理得：BF2=BG2+GF2  ， 代入即可得結果；（2）*四邊形BGFH是矩形，得BH=GF= AD= BC，所以⊙O必過BC的中點；（3）因為不可能與邊AB和BC相切，所以分兩種情況：①如圖2，當⊙O與邊CD相切時，設切點為M，連接OM、FH交於N，則OM⊥CD，Rt△ONF中，ON2+NF2=OF2=OM2  ， 列式 ( ) 2 +（ a ）2= ( ) 2 ，求a的值；②如圖3，當⊙O與邊AD相切時，設切點為Q， B F 2 = 25 + a 2   且BF=2OQ，列式可得結論；（4）如圖4，當A的對稱點A′恰好在邊BD上時，連接AA′交BF於H，連接AF、A′F，過F作MN⊥BC，交BC於M，交AD於N，則MN⊥AD，分別計算當a最小和最大時，即A′在邊BC上和邊CD上,根據對稱點的連線被對稱軸垂直平分，由線段垂直平分線的*質列式可得結論。  

知識點：未分類

題型：未分類