已知正方形ABCD中，點E，F分別為BC，CD上的點，連接AE，BF相交於點H，且AE⊥BF.(1)如圖1，連...

問題詳情：

已知正方形ABCD中，點E，F分別為BC，CD上的點，連接AE，BF相交於點H，且AE⊥BF.

(1)如圖1，連接AC交BF於點G，求*：∠AGF＝∠AEB＋45°；

(2)如圖2，延長BF到點M，連接MC，若∠BMC＝45°，求*：AH＋BH＝BM；

(3)如圖3，在(2)的條件下，若點H為BM的三等分點，連接BD，DM，若HE＝1，求△BDM的面積．

【回答】

解：

(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＝45°，∵AE⊥BF，∴∠AEB＋∠FBC＝90°，∵∠FBC＋∠BFC＝90°∴∠AEB＝∠BFC，∵∠AGF＝∠BFC＋∠ACF，∴∠AGF＝∠AEB＋45°　(2)過C作CK⊥BM於K，∴∠BKC＝∠AHB＝90°，∵∠BMC＝45°，∴CK＝MK，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABH＝∠BCK，∴△ABH≌△BCK(AAS)，∴BH＝CK＝MK，AH＝BK，∴BM＝BK＋MK＝AH＋BH　(3)由(2)得，BH＝CK＝MK，∵H為BM的三等分點，∴BH＝HK＝KM，過E作EN⊥CK於N，∴四邊形HENK是矩形，∴HK＝EN＝BH，∠BHE＝∠ENC，∴△BHE≌△ENC(ASA)，∴HE＝CN＝NK＝1，∴CK＝BH＝2，∴BM＝6，連接CH，∵HK＝MK，CK⊥MH，∠BMC＝45°，∴CH＝CM，∠MCH＝90°，∴∠BCH＝∠DCM，∴△BHC≌△DMC(SAS)，∴BH＝DM＝2，∠BHC＝∠DMC＝135°，∴∠DMB＝90°，∴△BDM的面積為DM·BM＝6

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題