如圖，拋物線的頂點為A(2，1)，且經過原點O，與x軸的另一個交點為B.(1)求拋物線的表達式；(2)在拋物線...

問題詳情：

如圖，拋物線的頂點為A(2，1)，且經過原點O，與x軸的另一個交點為B.

(1)求拋物線的表達式；

(2)在拋物線上求點M，使△MOB的面積是△AOB面積的3倍；

(3)在x軸下方的拋物線上是否存在點N，使△OBN與△OAB相似？若存在，求出點N座標；若不存在，説明理由．

【回答】

解：(1)設拋物線的表達式為y＝a(x－2)2＋1.

∵拋物線經過原點(0，0)，代入，得a＝－.

∴y＝－(x－2)2＋1.

(2)設點M(a，b)，S△AOB＝×4×1＝2.

則S△MOB＝6，∴點M必在x軸下方．

∴×4×|b|＝6.∴b＝－3.

將y＝－3代入y＝－(x－2)2＋1中，得

x＝－2或6.

∴點M的座標為(－2，－3)或(6，－3)．

(3)存在．∵△OBN相似於△OAB，

相似比OA∶OB＝∶4，

∴S△AOB∶S△OBN＝5∶16.

而S△AOB＝2.∴S△OBN＝.

設點N(m，n)，點N在x軸下方．

S△OBN＝×4×|n|＝.n＝－.

將其代入拋物線表達式，求得橫座標為2±，

∴存在點N，使△OBN與△OAB相似，點N的座標為(2±，－)．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題