已知：拋物線與軸的一個交點為（1）求拋物線與軸的另一個交點的座標；（2）是拋物線與軸的交點，是拋物線上的一點，...

問題詳情：

已知：拋物線與軸的一個交點為

（1）求拋物線與軸的另一個交點的座標；

（2）是拋物線與軸的交點，是拋物線上的一點，且以為一底的梯形的面積為9，求此拋物線的解析式；

（3）是第二象限內到軸、軸的距離的比為的點，如果點在（2）中的拋物線上，且它與點在此拋物線對稱軸的同側，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點，使的周長最小？若存在，求出點的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

（1）；（2）或；（3）存在，．

【解析】（1）依題意，拋物線

拋物線的對稱軸為，如圖1示：

拋物線與軸的一個交點為，

由拋物線的對稱*，可得拋物線與軸的另一個交點的座標為．

（2）拋物線與軸的一個交點為

，，，，

梯形中，，且點在拋物線上，

，，，

梯形的面積為9，，，，

所求拋物線的解析式為或．

（3）設點座標為(x0 ,y0)，如圖2所示：

依題意，x0＜0，y0＜0，且，，

①設點在拋物線上，∴y0=x02+4x0+3，

解方程組，得，

點與點在對稱軸的同側，點座標為，．

設在拋物線的對稱軸上存在一點，使的周長最小．

長為定值，要使的周長最小，只須最小

點關於對稱軸的對稱點是

由幾何知識可知，是直線與對稱軸的交點

設過點、的直線的解析式為，

，解得，

直線的解析式為，

把代入上式，得，

點座標為，

②設點在拋物線上，∴y0=-x02-4x0-3，

解方程組，

消去y0，得，

△，此方程組無實數根．

綜上，在拋物線的對稱軸上存在點，使的周長最小．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題