已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D為BC的中點．（1）如圖①，若點E、F分別為AB、AC上的點...

問題詳情：

已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D為BC的中點．

（1）如圖①，若點E、F分別為AB、AC上的點，且DE⊥DF，求*：BE=AF；

（2）若點E、F分別為AB、CA延長線上的點，且DE⊥DF，那麼BE=AF嗎？請利用圖②説明理由．

【回答】

【分析】（1）連接AD，根據等腰三角形的*質可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根據同角的餘角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可*出△BDE≌△ADF（ASA），再根據全等三角形的*質即可*出BE=AF；

（2）連接AD，根據等腰三角形的*質及等角的補角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根據同角的餘角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可*出△EDB≌△FDA（ASA），再根據全等三角形的*質即可得出BE=AF．

【解答】（1）*：連接AD，如圖①所示．

∵∠A=90°，AB=AC，

∴△ABC為等腰直角三角形，∠EBD=45°．

∵點D為BC的中點，

∴AD=BC=BD，∠FAD=45°．

∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，

∴∠BDE=∠ADF．

在△BDE和△ADF中，，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴BE=AF；

（2）BE=AF，*如下：

連接AD，如圖②所示．

∵∠ABD=∠BAD=45°，

∴∠EBD=∠FAD=135°．

∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，

∴∠EDB=∠FDA．

在△EDB和△FDA中，，

∴△EDB≌△FDA（ASA），

∴BE=AF．

【點評】本題考查了全等三角形的判定與*質、等腰直角三角形、補角及餘角，解題的關鍵是：（1）根據全等三角形的判定定理ASA*出△BDE≌△ADF；（2）根據全等三角形的判定定理ASA*出△EDB≌△FDA．

知識點：各地中考

題型：解答題