問題詳情:
在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=22.5°,點P為線段BC上一動點,當點P運動到某一位置時,它到點A,B的距離都等於a,到點P的距離等於a的所有點組成的圖形為W,點D為線段BC延長線上一點,且點D到點A的距離也等於a.
(1)求直線DA與圖形W的公共點的個數;
(2)過點A作AE⊥BD交圖形W於點E,EP的延長線交AB於點F,當a=2時,求線段EF的長.
【回答】
(1)1個;(2)
【分析】
(1)連接AP,根據圓周角定理得到∠APD=45°,求得DA=AP=a,得到∠D=∠APD=45°,推出D A⊥PA,於是得到結論;
(2)根據等腰三角形的*質得到∠BAP=∠B=22.5°,求得∠PAC=∠PCA=67.5°,推出點C在⊙P上,根據垂徑定理得到AC=CE,求得∠APE=90°,於是得到結論.
【詳解】
解:(1)直線DA與圖形W的公共點的個數為1個;
∵點P到點A,B的距離都等於a,
∴點P為AB的中垂線與BC的交點,
∵到點P的距離等於a的所有點組成圖形W,
∴圖形W是以點P為圓心,a為半徑的圓,
根據題意補全圖形如圖所示,
連接AP,
∵∠B=22.5°,
∴∠APD=45°,
∵點D到點A的距離也等於a,
∴DA=AP=a,
∴∠D=∠APD=45°,
∴∠PAD=90°,
∴DA⊥PA,
∴DA為⊙P的切線,
∴直線DA與圖形W的公共點的個數為1個;
(2)∵AP=BP,
∴∠BAP=∠B=22.5°,
∵∠BAC=90°,
∴∠PAC=∠PCA=67.5°,
∴PA=PC=a,
∴點C在⊙P上,
∵AE⊥BD交圖形W於點E,
∴
∴AC=CE,
∴∠DPE=∠APD=45°,
∴∠APE=90°,
∵EP=AP=a=2,
∴AE=,∠E=45°,
∵∠B=22.5°,AE⊥BD,
∴∠BAE=67.5°,
∴∠AFE=∠BAE=67.5°.
∴EF=AE=.
【點睛】
本題主要考查圓周角定理和等腰三角形的*質,運用已知條件做出圓,再利用等腰三角形的*質和垂徑定理等知識是解答本題的關鍵所在.
知識點:圓的有關*質
題型:解答題