問題詳情:
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,將△ABC繞點A順時針旋轉一定的角度得到△AED,點B、C的對應點分別是E、D.
(1)如圖1,當點E恰好在AC上時,求∠CDE的度數;
(2)如圖2,若=60°時,點F是邊AC中點,求*:四邊形BFDE是平行四邊形.
【回答】
(1)15°;(2)*見解析.
【分析】
(1)如圖1,利用旋轉的*質得CA=DA,∠CAD=∠BAC=30°,∠DEA=∠ABC=90°,再根據等腰三角形的*質求出∠ADC,從而計算出∠CDE的度數;
(2)如圖2,利用直角三角形斜邊上的中線*質得到BF=AC,利用含30度的直角三角形三邊的關係得到BC=AC,則BF=BC,再根據旋轉的*質得到∠BAE=∠CAD=60°,AB=AE,AC=AD ,DE=BC,從而得到DE=BF,△ACD和△BAE為等邊三角形,接着由△AFD≌△CBA得到DF=BA,然後根據平行四邊形的判定方法得到結論.
【詳解】
解:(1)如圖1,∵△ABC繞點A順時針旋轉α得到△AED,點E恰好在AC上,
∴∠CAD=∠BAC=30°,∠DEA=∠ABC=90°,
∵CA=DA,
∴∠ACD=∠ADC=(180°−30°)=75°,∠ADE=90°-30°=60°,
∴∠CDE=75°−60°=15°;
(2)*:如圖2,
∵點F是邊AC中點,
∴BF=AC,
∵∠BAC=30°,
∴BC=AC,
∴BF=BC,
∵△ABC繞點A順時針旋轉60°得到△AED,
∴∠BAE=∠CAD=60°,AB=AE,AC=AD,DE=BC,
∴DE=BF,△ACD和△BAE為等邊三角形,
∴BE=AB,
∵點F為△ACD的邊AC的中點,
∴DF⊥AC,
易*得△AFD≌△CBA,
∴DF=BA,
∴DF=BE,
而BF=DE,
∴四邊形BEDF是平行四邊形.
【點睛】
本題考查了旋轉的*質:對應點到旋轉中心的距離相等;對應點與旋轉中心所連線段的夾角等於旋轉角;旋轉前、後的圖形全等.也考查了平行四邊形的判定.
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題