如圖，在直三稜柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=2．（Ⅰ）若D為AA1中點，求...

問題詳情：

如圖，在直三稜柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=2．

（Ⅰ）若D為AA1中點，求*：平面B1CD⊥平面B1C1D；

（Ⅱ）在AA1上是否存在一點D，使得二面角B1﹣CD﹣C1的大小為60°．

【回答】

【考點】平面與平面垂直的判定．

【專題】作圖題；*題；綜合題；探究型；轉化思想．

【分析】法一（Ⅰ）D為AA1中點，推出平面B1CD內的直線CD，垂直平面B1C1D內的兩條相交直線DC1，B1C1可得CD⊥平面B1C1D，即可得到

平面B1CD⊥平面B1C1D；

（Ⅱ）在平面ACC1A1內過C1作C1E⊥CD，交CD或延長線或於E，連EB1，則EB1⊥CD，可得∠B1EC1為二面角B1﹣CD﹣C1的平面角，設AD=x，

△DCC1的面積為1求出x，在AA1上存在一點D滿足題意．

法二：（Ⅰ）建立空間直角座標系．計算，推出CD⊥平面B1C1D，可得平面B1CD⊥平面B1C1D．

（Ⅱ）設AD=a，則D點座標為（1，0，a），通過計算求出a，即可説明在AA1上存在一點D滿足題意．

【解答】解法一：（Ⅰ）*：∵∠A1C1B1=∠ACB=90°

∴B1C1⊥A1C1

又由直三稜柱*質知B1C1⊥CC1∴B1C1⊥平面ACC1A1．

∴B1C1⊥CD

由AA1=BC=2AC=2，D為AA1中點，可知，

∴DC2+DC12=CC12=4即CD⊥DC1

又B1C1⊥CD∴CD⊥平面B1C1D

又CD⊂平面B1CD

故平面B1CD⊥平面B1C1D

（Ⅱ）解：當時二面角B1﹣CD﹣C1的大小為60°．

假設在AA1上存在一點D滿足題意，

由（Ⅰ）可知B1C1⊥平面ACC1A1．

如圖，在平面ACC1A1內過C1作C1E⊥CD，交CD或延長線或於E，連EB1，則EB1⊥CD

所以∠B1EC1為二面角B1﹣CD﹣C1的平面角

∴∠B1EC1=60°

由B1C1=2知，

設AD=x，則

∵△DCC1的面積為1∴

解得，即

∴在AA1上存在一點D滿足題意

解法二：

（Ⅰ）如圖，以C為原點，CA、CB、CC1所在直線為x、y、z軸建立空間直角座標系．

則C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），D（1，0，1）．

即

由得

由得

又DC1∩C1B=C1

∴CD⊥平面B1C1D又CD⊂平面B1CD

∴平面B1CD⊥平面B1C1D

（Ⅱ）當時二面角B1﹣CD﹣C1的大小為60°．

設AD=a，則D點座標為（1，0，a），

設平面B1CD的法向量為

則由令z=﹣1

得

又∵為平面C1CD的法向量

則由

解得，故．

∴在AA1上存在一點D滿足題意

【點評】本題考查平面與平面垂直的判定，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力、計算能力，是中檔題．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題