問題詳情:
(I).如圖,在三稜柱ABC﹣A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5. (Ⅰ)求*:AA1⊥平面ABC; (Ⅱ)求*二面角A1﹣BC1﹣B1的餘弦值;
【回答】
(I)*:∵AA1C1C是正方形,∴AA1⊥AC. 又∵平面ABC⊥平面AA1C1C,平面ABC∩平面AA1C1C=AC, ∴AA1⊥平面ABC. (II)解:由AC=4,BC=5,AB=3. ∴AC2+AB2=BC2 , ∴AB⊥AC. 建立如圖所示的空間直角座標系,則A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4), ∴ , , . 設平面A1BC1的法向量為 ,平面B1BC1的法向量為 =(x2 , y2 , z2). 則 ,令y1=4,解得x1=0,z1=3,∴ . ,令x2=3,解得y2=4,z2=0,∴ . = = = . ∴二面角A1﹣BC1﹣B1的餘弦值為 .
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題