問題詳情:
已知正項等比數列{an}(n∈N*),首項a1=3,前n項和為Sn,且S3+aS5+a5,S4+a4成等差數列.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)數列{nan}的前n項和為Tn,若對任意正整數n,都有Tn∈[a,b],求b-a的最小值.
【回答】
(1)an=3×()n-1.(2)9.
試題解析:(1)設等比數列{an}的公比為q,
∵S3+aS5+aS4+a4成等差數列,
∴有2(S5+a5)=(S3+a3)+(S4+a4)
即2(a1+a2+a3+a4+2a5)=(a1+a2+2a3)+(a1+a2+a3+2a4),
化簡得4a5=a3,從而4q2=1,解得q=±,
∵an>0,∴q=,得an=3×()n-1.
(2)由(1)知,nan=3n×()n-1,Tn=3×1+3×2×()+3×3×()2+…+3n()n-1;
Tn=3×1×()+3×2×()2+…+3(n-1)×()n-1+3n()n
兩式相減得:Tn=3×1+3×()+3×()2+…+3×()n-1-3n()n
=3×-3n()n=6-,
∴Tn=12-<12.
又nan=3n×()n-1>0,∴{Tn}單調遞增,
∴(Tn)min=T1=3,故有3≤Tn<12.
∵對任意正整數n,都有Tn∈[a,b],
∴a≤3,b≥12.
即a的最大值為3,b的最小值為12.
故(b-a)min=12-3=9.
知識點:數列
題型:解答題