如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，連結AD1、BC1．若∠A...

問題詳情：

如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，連結AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD與△A1C1D1重疊部分的面積為s，則下列結論：

①△A1AD1≌△CC1B；

②當x=1時，四邊形ABC1D1是菱形；

③當x=2時，△BDD1為等邊三角形；

④s=（x﹣2）2（0＜x＜2）；

其中正確的個數是（　　）

A．1       B．2       C．3       D．4

【回答】

D【考點】幾何變換綜合題．

【分析】①根據矩形的*質，得∠DAC=∠ACB，再由平移的*質，可得出∠A1=∠ACB，A1D1=CB，從而*出結論；

②根據菱形的*質，四條邊都相等，可推得當C1在AC中點時四邊形ABC1D1是菱形．

③當x=2時，點C1與點A重合，可求得BD=DD1=BD1=2，從而可判斷△BDD1為等邊三角形．

④易得△AC1F∽△ACD，根據面積比等於相似比平方可得出s與x的函數關係式．

【解答】解：①∵四邊形ABCD為矩形，

∴BC=AD，BC∥AD

∴∠DAC=∠ACB

∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，

∴∠A1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1，

在△A1AD1與△CC1B中，

，

∴△A1AD1≌△CC1B（SAS），

故①正確；

②∵∠ACB=30°，

∴∠CAB=60°，

∵AB=1，

∴AC=2，

∵x=1，

∴AC1=1，

∴△AC1B是等邊三角形，

∴AB=D1C1，

又AB∥BC1，

∴四邊形ABC1D1是菱形，

故②正確；

③如圖所示：

則可得BD=DD1=BD1=2，

∴△BDD1為等邊三角形，故③正確．

④易得△AC1F∽△ACD，

∴，

解得：S△AC1F=（x﹣2）2 （0＜x＜2）；故④正確；

綜上可得正確的是①②③④．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：選擇題