問題詳情:
(1)△ABC和△CDE是兩個等腰直角三角形,如圖1,其中∠ACB=∠DCE=90°,連結AD、BE,求*:△ACD≌△BCE.
(2)△ABC和△CDE是兩個含30°的直角三角形,其中∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=30°,CD<AC,△CDE從邊CD與AC重合開始繞點C逆時針旋轉一定角度α(0°<α<180°);
①如圖2,DE與BC交於點F,與AB交於點G,連結AD,若四邊形ADEC為平行四邊形,求的值;
②若AB=10,DE=8,連結BD、BE,當以點B、D、E為頂點的三角形是直角三角形時,求BE的長.
【回答】
【解析】(1)*:∵△ABC和△CDE是兩個等腰直角三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中, ,
∴△ACD≌△BCE(SAS);
(2)解:①連接CG,如圖2所示:
∵四邊形ADEC為平行四邊形,
∴AD∥CE,
∴∠ADE+∠CED=180°,
∵∠CED=90°﹣∠CDE=90°﹣30°=60°,
∴∠ADE=120°,
∴∠ADC=∠ADE﹣∠CDE=90°,
∵∠CAB=∠CDE=30°,
∴A、D、G、C四點共圓,
∴∠AGC=∠ADC=90°,
∵∠CAB=30°,
∴CG=AC,AG=CG,∠BCG=30°,
∴CG=BG,即BG= CG,
∴ =3;
②分三種情況:
當∠BED=90°時,如圖3所示:
∵△ABC和△CDE是兩個含30°的直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=30°,
∴∠ACD=∠BCE,,
∴△ACD∽△BCE,
∴=,
∴AD=BE,
∴∠ADC=∠BEC=90°+∠CED=90°+60°=150°,
∵∠CDE=30°,
∴∠CDE+∠ADC=180°,
∴A、D、E共線,
在Rt△ABE中,由勾股定理得:AE2+BE2=AB2,
即(BE+8)2+BE2=102,
解得:BE=﹣2± (負值捨去),
∴BE=﹣2+;
當∠DBE=90°時,如圖4所示:
作CF⊥AB於F,則∠BCF=30°,
∴BF=BC,
∵∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=30°,
∴BC=AB=5,CEDE=4,
∴CD=CE=4,
∴BF=BC=,
∴CF=BF=,
∴DF=,
∵AB=AD+DF+BF,
∴AD=10﹣,
∴BE=;
當∠BDE=90°時,如圖5所示:
作BG⊥CD於G,則∠BDG=∠BDE﹣∠CDE=60°,
∴∠DBG=30°,∴BD=2DG,BG=DG,
設DG=x,則CG=4﹣x,BG=x,
在Rt△BCG中,由勾股定理得:CG2+BG2=BC2,
即(4﹣x)2+(x)2=52,
整理得:4xx+23=0,
∵△=(﹣8)2﹣4×4×23<0,∴此方程無解;
綜上所述,當以點B、D、E為頂點的三角形是直角三角形時,BE的長為﹣2+ 或.
知識點:相似三角形
題型:綜合題