數學活動課上,老師讓同學們以“三角形的旋轉"為主題開展數學活動,ABC和DEC是兩個全等的直角三角形紙片,其中...

問題詳情：

數學活動課上,老師讓同學們以“三角形的旋轉"為主題開展數學活動,ABC和DEC是兩個全等的直角三角形紙片,其中∠ACB=∠DCE=90°,B=∠E =30° ,AB=DE =4.

解決問題

(1)如圖①,智慧小組將DEC繞點C順時針旋轉,發現當點D恰好落在AB邊上時,DE//AC,請你幫他們*這個結論;

(2)縝密小組在智慧小組的基礎上繼續探究,連接AE、AD、BD,當DEC繞點C繼續旋轉到如圖②所示的位置時,他們提出,請你幫他們驗*這一結論是否正確,並説明由;

探索發現

(3)如圖③,勤奮小組在前兩個小組的啟發下,繼續旋轉DEC,當B.A、E三點共線時,求BD的長;

(4)在圖①的基礎，上,寫出一個邊長比為1::2的三角形(可添加字母)。

【回答】

  (1)*：∵△ABC和△DEC是兩個全等的直角三角形紙片，

∴AC＝CD，

∵∠BAC＝90°－∠B＝90°－30°＝60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴∠ACD＝60°，……(1分)

又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，

∴∠ACD＝∠CDE，

∴DE∥AC；……(2分)

(2)解：正確，理由如下：

如解圖①，過點A作AN⊥EC，交EC延長線於點N，過點D作DM⊥BC於點M.

∵△ABC和△DEC是兩個全等的直角三角形紙片，

∴BC＝CE，AC＝CD，……(3分)

∵∠ACN＋∠BCN＝90°，∠DCM＋∠BCN＝180°－90°＝90°，

∴∠ACN＝∠DCM，……(4分)

在△ACN和△DCM中，

∵，

∴△ACN≌△DCM(AAS)，

∴AN＝DM，

∴S△BDC＝S△AEC(等底等高的三角形面積相等)；(5分)

(解圖①)

(3)解：∵CE＝CB，

∴∠BEC＝∠ABC＝30°，

又∵∠DEC＝∠ABC＝30°，

∴∠BED＝60°，(6分)

由(1)可知∠BAC＝60°，

∴AC//DE，

∴∠ACE＝∠DEC＝30°，

∴AC＝AE，(7分)

∵AC＝CD，∴AE＝CD，

在△ADE和△CED中，，

∴△ADE≌△CED，

∴∠EAD＝∠DCE＝90°，AD＝CE，即DA⊥AB，(8分)

在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，

∴BC＝CE＝AD＝2，

在Rt△BAD中，由勾股定理得BD＝＝2；(9分)

(4)解：*不唯一，合理即可．(11分)

例：如解圖②，記BC與DE交於點F，則△DFB是邊長比為1∶ ∶2的三角形．

(解圖②)

知識點：勾股定理

題型：綜合題