問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,點A的座標為(5,0),點B的座標為(8,4),點C的座標為(3,4),連接AB、BC、OC
(1)求*四邊形OABC是菱形;
(2)直線l過點C且與y軸平行,將直線l沿x軸正方向平移,平移後的直線交x軸於點P.
①當OP:PA=3:2時,求點P的座標;
②點Q在直線1上,在直線l平移過程中,當△COQ是等腰直角三角形時,請直接寫出點Q的座標.
【回答】
*:(1)∵點A的座標為(5,0),點B的座標為(8,4),點C的座標為(3,4),O點座標(0,0)
∴AO=BC=5,CO==5,AB==5
∴AO=BC=CO=AB=5
∴四邊形ABCO是菱形
(2)①當點P在線段OA上,
∵OP:PA=3:2,OP+AP=5
∴OP=3,PA=2
∴點P座標為(3,0)
當點P在點A的右側,
∵OP:PA=3:2,OP﹣AP=OA=5
∴OP=15,AP=10
∴點P座標為(15,0)
②如圖,當∠COQ=90°,OC=OQ時,過點C作CE⊥OA於E,則OE=3,CE=4,
∵∠COE+∠POQ=90°,∠COE+∠OCE=90°,
∴∠OCE=∠POQ,且OC=OQ,∠CEO=∠OPQ
∴△COE≌△OQP(AAS)
∴PQ=OE=3,OP=CE=4,
∴點Q座標(﹣4,3)
如圖,當∠OCQ=90°,OC=CQ時,過點C作CE⊥OA於點E,則CE=4,OE=3,
過點Q作FQ⊥CE於點F,
∵∠OCE+∠ECQ=90°,∠ECQ+∠CQF=90°,
∴∠OCE=∠CQF,且OC=CQ,∠OEC=∠CFQ=90°,
∴△OEC≌△CFQ(AAS)
∴CF=OE=3,FQ=CE=4,
∴EF=1,
∵QF⊥CE,CE⊥AO,PQ⊥OA
∴四邊形EPQF是矩形
∴EP=FQ=4
即OP=7
∴點Q座標為(7,1)
如圖,若∠CQO=90°,CQ=OQ時,過點C作CE⊥OA於點E,則CE=4,OE=3,
∵∠CQH+∠OQP=90°,∠PQO+∠QOP=90°,
∴∠CQH=∠QOP,且OQ=CQ,∠CHQ=∠OPQ=90°,
∴△OPQ≌△QHC(AAS)
∴OP=HQ,CH=PQ,
∵CE⊥OA,PH⊥BC,PH⊥OA
∴四邊形CEPH是矩形,
∴EP=CH=PQ,HP=CE=4,
∵HQ+PQ=HP=4=OP+EP,OP﹣EP=OE=3,
∴OP=,EP=PQ=
∴點Q座標(,)
綜上所述:點Q座標為:(﹣4,3),(7,1),(,)
知識點:特殊的平行四邊形
題型:綜合題