已知曲線上動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數，若過的動直線與曲線相交於兩點（1）説明曲線的形狀，並寫...

問題詳情：

已知曲線上動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數，若過的動直線與曲線相交於兩點

（1）説明曲線的形狀，並寫出其標準方程；

（2）是否存在與點不同的定點，使得恆成立？若存在，求出點的座標；若不存在，請説明理由

【回答】

【詳解】（1）設動點座標為

點到直線的距離為．依題意可知

則

化簡得

所以曲線是橢圓，它的標準方程為

（2）①當直線與軸垂直時，由橢圓的對稱*可知，又因為,則

從而點必在軸上.

②當直線與軸垂直時，則，由①可設，

由得，解得（捨去），或．

則點的座標只可能是．

下面只需*直線斜率存在且時均有即可.

設直線的方程為，代入得.

設

所以

設點關於軸對稱的點座標

因為直線的斜率

同理得直線的斜率

，三點共線.

故.

所以存在點滿足題意．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題