問題詳情:
記分別為函數的導函數.若存在,滿足且,則稱為函數與的一個“點”.
(1)*:函數與不存在“點”;
(2)若函數與存在“點”,求實數的值;
(3)已知函數,.對任意,判斷是否存在,使函數與在區間內存在“點”,並説明理由.
【回答】
(1)*見解析;(2);(3)存在,使函數與在區間內存在“點”.
【解析】
分析:(1)根據題中“S點”的定義列兩個方程,根據方程組無解*得結論;(2)同(1)根據“S點”的定義列兩個方程,解方程組可得a的值;(3)通過構造函數以及結合 “S點”的定義列兩個方程,再判斷方程組是否有解即可*得結論.
詳解:解:(1)函數f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,則f′(x)=1,g′(x)=2x+2.
由f(x)=g(x)且f′(x)= g′(x),得
,此方程組無解,
因此,f(x)與g(x)不存在“S”點.
(2)函數,,
則.
設x0為f(x)與g(x)的“S”點,由f(x0)與g(x0)且f′(x0)與g′(x0),得
,即,(*)
得,即,則.
當時,滿足方程組(*),即為f(x)與g(x)的“S”點.
因此,a的值為.
(3)對任意a>0,設.
因為,且h(x)的圖象是不間斷的,
所以存在∈(0,1),使得,令,則b>0.
函數,
則.
由f(x)與g(x)且f′(x)與g′(x),得
,即(**)
此時,滿足方程組(**),即是函數f(x)與g(x)在區間(0,1)內的一個“S點”.
因此,對任意a>0,存在b>0,使函數f(x)與g(x)在區間(0,+∞)內存在“S點”.
點睛:涉及函數的零點問題、方程解的個數問題、函數圖象交點個數問題,一般先通過導數研究函數的單調*、最大值、最小值、變化趨勢等,再借助函數的大致圖象判斷零點、方程根、交點的情況,歸根到底還是研究函數的*質,如單調*、極值,然後通過數形結合的思想找到解題的思路.
知識點:導數及其應用
題型:解答題