已知∠MAN＝135°，正方形ABCD繞點A旋轉．,圖①)　　　,圖②)　　　,圖③)(1)當正方形ABCD旋...

問題詳情：

已知∠MAN＝135°，正方形ABCD繞點A旋轉．

,圖①)　　　,圖②)　　　,圖③)

(1)當正方形ABCD旋轉到∠MAN的外部(頂點A除外)時，AM，AN分別與正方形ABCD的邊CB，CD的延長線交於點M，N，連接MN.

①如圖①，若BM＝DN，則線段MN與BM＋DN之間的數量關係是__MN＝BM＋DN__；

②如圖②，若BM≠DN，請判斷①中的數量關係關係是否仍成立？並説明理由；

(2)如圖③，當正方形ABCD旋轉到∠MAN的內部(頂點A除外)時，AM，AN分別與直線BD交於點M，N，探究：以線段BM，MN，DN的長度為三邊長的三角形是何種三角形？並説明理由．

【回答】

【解析】(1)①如圖①，若BM＝DN，則線段MN與BM＋DN之間的數量關係是MN＝BM＋DN.理由：△ADN≌△ABM(SAS)，∴AN＝AM，∠NAD＝∠MAB.∵∠MAN＝135°，∠BAD＝90°，∴∠NAD＝∠MAB＝(360°－135°－90°)＝67.5°.作AE⊥MN於點E，則MN＝2NE，∠NAE＝∠MAN＝67.5°.∴△ADN≌△AEN(AAS)，∴DN＝EN.∵BM＝DN，MN＝2EN，∴MN＝BM＋DN.②如圖②，若BM≠DN，①中的數量關係仍成立．理由：將△ABM繞點A逆時針旋轉90°得到△ADE，易知N，D，E三點共線．∵AM＝AE，∠MAE＝90°，∴∠EAN＝360°－∠MAN－∠MAE＝360°－135°－90°＝135°，∴∠MAN＝∠NAE，∴△ANM≌△ANE(SAS)，∴MN＝EN.∵EN＝DE＋DN＝BM＋DN，∴MN＝BM＋DN.

(2)結論：以線段BM，MN，DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形．理由：如圖③，將△ABM繞點A逆時針旋轉90°得到△ADE，連接NE，∵∠MAE＝90°，∠MAN＝135°，∴∠NAE＝360°－∠MAN－∠MAE＝135°，∴∠EAN＝∠MAN.∵AM＝AE，AN＝AN，∴△AMN≌△AEN，∴MN＝EN.∵∠ADE＝∠ABM＝∠BDA＝45°，∴∠BDE＝∠BDA＋∠ADE＝90°，∴DN2＋DE2＝NE2.∵BM＝DE，MN＝EN，∴DN2＋BM2＝MN2，∴以線段BM，MN，DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形．

知識點：圖形的旋轉

題型：解答題