問題詳情:
正方形ABCD中,M,N分別是直線CB,DC上的動點,∠MAN=45°.
(1)如圖①,當∠MAN交邊CB,DC於點M,N時,線段BM,DN和MN之間有怎樣的數量關係?請*;
(2)如圖②,當∠MAN分別交邊CB,DC的延長線於點M,N時,線段BM,DN和MN之間又有怎樣的數量關係?請寫出你的猜想,並加以*;
(3)在圖①中,若正方形的邊長為16 cm,DN=4 cm,請利用(1)中的結論,試求MN的長.
【回答】
解:(1)BM+DN=MN.*:延長CD至點Q,使DQ=BM,連結AQ,易*△ADQ≌△ABM(SAS),∴AQ=AM,∠DAQ=∠BAM,∴∠QAN=∠DAN+∠DAQ=∠DAN+∠BAM=90°-∠MAN=45°=∠MAN,∴△AQN≌△ANM(SAS),∴MN=QN=DN+DQ=BM+DN (2)DN-BM=MN.*:在DN上截取DK=BM,連結AK,易*△ADK≌△ABM,∴AK=AM,∠DAK=∠BAM,∵∠MAN=∠BAM+∠BAN=∠DAK+∠BAN=45°,即∠DAK+∠BAN=45°,∴∠KAN=90°-(∠DAK+∠BAN)=90°-45°=45°,∴∠KAN=∠MAN=45°,∴△KAN≌△MAN(SAS),∴MN=KN=DN-DK=DN-BM (3)設MN=x,則BM=MN-DN=x-4,CM=BC-BM=16-(x-4)=20-x,在Rt△CMN中,由勾股定理得(16-4)2+(20-x)2=x2,解得x=13.6,∴MN=13.6 cm
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題