如圖，矩形中，與相交於點，，將沿摺疊，點的對應點為，連接交於點，且，在邊上有一點，使得的值最小，此時（  ）A...

問題詳情：

如圖，矩形中，與相交於點，，將沿摺疊，點的對應點為，連接交於點，且，在邊上有一點，使得的值最小，此時（   ）

A．                      B．                    C．                      D．

【回答】

B

【解析】

設BD與AF交於點M．設AB=a，AD=a，根據矩形的*質可得△ABE、△CDE都是等邊三角形，利用摺疊的*質得到BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA=a．解直角△BGM，求出BM，再表示DM，由△ADM∽△GBM，求出a=2，再*CF=CD=2．作B點關於AD的對稱點B′，連接B′E，設B′E與AD交於點H，則此時BH+EH=B′E，值最小．建立平面直角座標系，得出B（3，2），B′（3，-2），E（0，），利用待定係數法求出直線B′E的解析式，得到H（1，0），然後利用兩點間的距離公式求出BH=4，進而求出=．

【詳解】

如圖，設BD與AF交於點M．設AB=a，AD=a，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB=90°，tan∠ABD=，

∴BD=AC==2a，∠ABD=60°，

∴△ABE、△CDE都是等邊三角形，

∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a，

∵將△ABD沿BD摺疊，點A的對應點為F，

∴BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA=a，

在△BGM中，∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2，

∴GM=BG=1，BM=GM=，

∴DM=BD-BM=2a-，

∵矩形ABCD中，BC∥AD，

∴△ADM∽△GBM，

∴，即，

∴a=2，

∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=2，AD=BC=6，BD=AC=4，

易*∠BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°，

∴△ADF是等邊三角形，

∵AC平分∠DAF，

∴AC垂直平分DF，

∴CF=CD=2，

作B點關於AD的對稱點B′，連接B′E，設B′E與AD交於點H，則此時BH+EH=B′E，值最小．

如圖，建立平面直角座標系，

則A（3，0），B（3，2），B′（3，-2），E（0，），

易求直線B′E的解析式為y=-x+，

∴H（1，0），

∴BH==4，

∴=．

故選：B．

【點睛】

本題考查了摺疊的*質：摺疊是一種對稱變換，它屬於軸對稱，摺疊前後圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了矩形的*質，解直角三角形，等邊三角形、垂直平分線、相似三角形的判定與*質，待定係數法求直線的解析式，軸對稱-最短路線問題，兩點間的距離公式等知識．綜合*較強，有一定難度．分別求出BH、CF的長是解題的關鍵．

知識點：軸對稱

題型：選擇題