如圖，在⊙O中，將沿弦BC所在直線摺疊，摺疊後的弧與直徑AB相交於點D，連接CD．（1）若點D恰好與點O重合，...

問題詳情：

如圖，在⊙O中，將沿弦BC所在直線摺疊，摺疊後的弧與直徑AB相交於點D，連接CD．

（1）若點D恰好與點O重合，則∠ABC=　   　°；

（2）延長CD交⊙O於點M，連接BM．猜想∠ABC與∠ABM的數量關係，並説明理由．

【回答】

解：（1）∵由摺疊可知：∠OBC=∠CBD，

∵點D恰好與點O重合，

∴∠COD=60°，

∴∠ABC=∠OBC=；

故*為：30；

（2）∠ABM=2∠ABC，理由如下：

作點D關於BC的對稱點D'，連接CD'，BD'，

∵對稱，

∴∠DBC=∠D'BC，DC=D'C，

連接CO，D'O，AC，

∴∠AOC=2∠ABC，∠D'OC=2∠D'BC

∴∠AOC=∠D'OC，

∴AC=D'C，

∵DC=D'C，

∴AC=DC，

∴∠CAD=∠CDA，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAD+∠ABC=90°，

設∠ABC=α，則∠CAD=∠CDA=90°﹣α，

∴∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=2α，

即∠ACD=2∠ABC，

∵∠ABM=∠ACD，

∴∠ABM=2∠ABC．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題