問題詳情:
我們把方程(x- m)2+(y-n)2=r2稱為圓心為(m,n)、半徑長為r的圓的標準方程.例如,圓心為(1,-2)、半徑長為3的圓的標準方程是(x- 1)2+(y+2)2=9.在平面直角座標系中,圓C與軸交於點A.B.且點B的座標為(8.0),與y軸相切於點D(0, 4),過點A,B,D的拋物線的頂點為E.
(1)求圓C的標準方程;
(2)試判斷直線AE與圓C的位置關係,並説明理由.
【回答】
(1);(2)相切,理由見解析
【分析】
(1)連接CD,CB,過C作CF⊥AB,分別表示出BF和CF,再在△BCF中利用勾股定理構造方程求解即可得到圓C半徑以及點C座標,從而得到標準方程;
(2)由(1)可得點A座標,求出拋物線表達式,得到點E座標,再求出直線AE的表達式,聯立直線AE和圓C的表達式,通過判斷方程根的個數即可得到兩者交點個數,從而判斷位置關係.
【詳解】
解:連接CD,CB,過C作CF⊥AB,
∵點D(0,4),B(8,0),設圓C半徑為r,圓C與y軸切於點D,
則CD=BC=OF=r,CF=4,
∵CF⊥AB,
∴AF=BF=8-r,
在△BCF中,,
即,
解得:r=5,
∴CD=OF=5,即C(5,4),
∴圓C的標準方程為:;
(2)由(1)可得:BF=3=AF,則OA=OB-AB=2,
即A(2,0),
設拋物線表達式為:,將A,B,D座標代入,
,解得:,
∴拋物線表達式為:,
∴可得點E(5,),
設直線AE表達式為:y=mx+n,將A和E代入,
可得:,解得:,
∴直線AE的表達式為:,
∵圓C的標準方程為,
聯立,
解得:x=2,
故圓C與直線AE只有一個交點,橫座標為2,
即圓C與直線AE相切.
【點睛】
本題考查了圓的新定義,二次函數,一次函數,切線的判定,垂徑定理,有一定難度,解題的關鍵是利用轉化思想,將求位置關係轉化為方程根的個數問題.
知識點:二次函數單元測試
題型:解答題