已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切．(1)求橢圓的方程；(2)設，是橢圓上關於...

問題詳情：

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切．(1)求橢圓的方程；(2)設，是橢圓上關於軸對稱的任意兩個不同的點，連接交橢圓於另一點，*直線與軸相交於定點；(3)在(2)的條件下，過點的直線與橢圓交於兩點，求的取值範圍．

【回答】

解：(1)由題意知，所以，即．……1分

又因為以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，

所以，所以．                            ……2分

故橢圓的方程為．                                    ……2分

(2)由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為．    ……3分

由得．                  ……4分

設點，，則,.……5分

依題意，直線的方程為.

令，得．                                  ……6分

將，代入，整理得

．

所以直線與軸相交於定點．                             ……7分

(3)當過點直線的斜率存在時，設直線的方程為．……8分

由得，易知．       ……9分

設，則，．

則.……10分

因為，所以,

所以．                                            ……11分

當過點直線的斜率不存在時，其方程為．

解得或,此時．

所以的取值範圍是

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題