已知圓F的圓心座標為（1，0），且被直線x+y﹣2=0截得的弦長為．（1）求圓F的方程；（2）若動圓M與圓F相...

問題詳情：

已知圓F的圓心座標為（1，0），且被直線x+y﹣2=0截得的弦長為．

（1）求圓F的方程；

（2）若動圓M與圓F相外切，又與y軸相切，求動圓圓心M的軌跡方程；

（3）直線L與圓心M軌跡位於y軸右側的部分相交於A、B兩點，且•=﹣4，試問直線L 是否過一定點，若過則求出該定點．

【回答】

解：（1）設圓F的方程為（x﹣1）2+y2=r2，r＞0，

由圓心到直線x+y﹣2=0的距離為d==，

由弦長公式可得=2，解得r=1，

可得圓F的方程為（x﹣1）2+y2=1；

（2）設M的座標為（x，y），由動圓M與圓F相外切，又與y軸相切，

可得M到點F的距離比它到y軸的距離大1，

即為M到點F的距離比它到直線x=﹣1的距離相等，

由拋物線的定義，可得動圓圓心M的軌跡方程為y2=4x；

（3）*：設l：x=ty+b代入拋物線y2=4x，消去x得

y2﹣4ty﹣4b=0設A（x1，y1），B（x2，y2）

則y1+y2=4t，y1y2=﹣4b，

∴•=x1x2+y1y2=（ty1+b）（ty2+b）+y1y2

=t2y1y2+bt（y1+y2）+b2+y1y2

=﹣4bt2+4bt2+b2﹣4b=b2﹣4b

令b2﹣4b=﹣4，∴b2﹣4b+4=0∴b=2．

∴直線l過定點（2，0）．

知識點：圓與方程

題型：解答題