已知直線x﹣y+3=0與圓心為（3，4）的圓C相交，截得的弦長為2．（1）求圓C的方程；（2）設Q點的座標為（...

問題詳情：

已知直線x﹣y+3=0與圓心為（3，4）的圓C相交，截得的弦長為2．

（1）求圓C的方程；

（2）設Q點的座標為（2，3），且動點M到圓C的切線長與|MQ|的比值為常數k（k＞0）．若動點M的軌跡是一條直線，試確定相應的k值，並求出該直線的方程．

【回答】

【分析】（1）求出圓心C到直線l的距離，利用截得的弦長為2求得半徑的值，可得圓C的方程；

（2）設動點M（x，y），則由題意可得=k，即=k，化簡可得 （k2﹣1）•x2+（k2﹣1）•y2+（6﹣4k2）x+（8﹣6k2）y+13k2﹣9=0，若動點M的軌跡方程是直線，則k2﹣1=0，即可得出結論．

解：（1）圓心C到直線l的距離為=，

∵截得的弦長為2，

∴半徑為2，

∴圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4；

（2）設動點M（x，y），則由題意可得=k，即=k，

化簡可得 （k2﹣1）•x2+（k2﹣1）•y2+（6﹣4k2）x+（8﹣6k2）y+13k2﹣21=0，

若動點M的軌跡方程是直線，則k2﹣1=0，∴k=1，

直線的方程為x+y﹣4=0．

知識點：圓與方程

題型：解答題