已知數列滿足：，*：當時，（I）；（II）；（III）.

問題詳情：

已知數列滿足：，

*：當時，

（I）；

（II）；

（III）.

【回答】

（I）見解析；（II）見解析；（Ⅲ）見解析.

【分析】

（I）用數學歸納法可*；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 構造函數，利用函數的單調*可*；

（Ⅲ）由及，遞推可得.

【詳解】

（Ⅰ）用數學歸納法*：．

當時，．

假設時，，那麼時，若，

則，矛盾，故．

因此，所以，因此．

（Ⅱ）由得，

．

記函數，

，

函數在上單調遞增，所以，

因此，故．

（Ⅲ）因為，所以，

由，得，

所以，故．

綜上，．

【名師點睛】

本題主要考查利用數列不等式的*，常利用以下方法：（1）數學歸納法；（2）構造函數，利用函數的單調**不等式；（3）利用遞推關係*．

知識點：導數及其應用

題型：解答題