如圖所示，在長方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為CD的中點，以AE為摺痕，把△DAE折起到△D′AE的位...

問題詳情：

如圖所示，在長方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為CD的中點，以AE為摺痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE.

(1)求*：AD′⊥BE；(2)求四稜錐D′­ABCE的體積；

(3)在稜D′E上是否存在一點P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出點P的位置，若不存在，請説明理由．

【回答】

解：(1)*：根據題意可知，在長方形ABCD中，△DAE和△CBE為等腰直角三角形，

∴∠DEA＝∠CEB＝45°，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，

∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，

∴BE⊥平面D′AE，∵AD′⊂平面D′AE，∴AD′⊥BE.

(2)取AE的中點F，連接D′F，則D′F⊥AE.

∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，

∴D′F⊥平面ABCE，∴VD′­ABCE＝S四邊形ABCE·D′F＝××(1＋2)×1×＝.

(3)如圖所示，連接AC交BE於Q，假設在D′E上存在點P，使得D′B∥平面PAC，連接PQ，∵D′B⊂平面D′BE，平面D′BE∩平面PAC＝PQ，∴D′B∥PQ，

∴在△EBD′中，＝，∵在梯形ABCE中，＝＝，∴＝＝，即EP＝ED′，

∴在稜D′E上存在一點P，且EP＝ED′，使得D′B∥平面PAC.

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題