如圖，已知△ABC是面積為的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC與DE相交於點...

問題詳情：

如圖，已知△ABC是面積為的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC與DE相交於點F，則△AEF的面積等於_____（結果保留根號）．

【回答】

【解析】

【分析】

如圖，過點F作FH⊥AE交AE於H，過點C作CM⊥AB交AB於M，根據等邊三角形的*質可求出AB的長，根據相似三角形的*質可得△ADE是等邊三角形，可得出AE的長，根據角的和差關係可得∠EAF=∠BAD=45°，設AH＝HF＝x，利用∠EFH的正確可用x表示出EH的長，根據AE=EH+AH列方程可求出x的值，根據三角形面積公式即可得*．

【詳解】

如圖，過點F作FH⊥AE交AE於H，過點C作CM⊥AB交AB於M，

∵△ABC是面積為的等邊三角形，CM⊥AB，

∴×AB×CM＝，∠BCM＝30°，BM=AB，BC=AB，

∴CM==，

∴×AB×＝，

解得：AB＝2，（負值捨去）

∵△ABC∽△ADE，△ABC是等邊三角形，

∴△ADE是等邊三角形，∠CAB=∠EAD=60°，∠E=60°，

∴∠EAF+∠FAD=∠FAD+BAD=60°，

∵∠BAD=45°，

∴∠EAF＝∠BAD＝45°，

∵FH⊥AE，

∴∠AFH＝45°，∠EFH＝30°，

∴AH＝HF，

設AH＝HF＝x，則EH＝xtan30°＝x．

∵AB=2AD，AD=AE，

∴AE＝AB＝1，

∴x+x＝1，

解得x＝．

∴S△AEF＝×1×＝．

故*為：．

【點睛】

本題考查了相似三角形的*質，等邊三角形的*質，鋭角三角函數，根據相似三角形的*質得出△ADE是等邊三角形、熟練掌握等邊三角形的*質並熟記特殊角的三角函數值是解題關鍵．

知識點：等腰三角形

題型：填空題