如圖，在矩形ABCD中，∠ADC的平分線與AB交於E，點F在DE的延長線上，∠BFE=90°，連接AF、CF，...

問題詳情：

如圖，在矩形ABCD中，∠ADC的平分線與AB交於E，點F在DE的延長線上，∠BFE=90°，連接AF、CF，CF與AB交於G，有以下結論：

①AE=BC

②AF=CF

③BF2=FG•FC

④EG•AE=BG•AB

其中正確的個數是（　　）

A．1                           B．2                           C．3                           D．4

【回答】

C

【分析】

①只要*△ADE為等腰直角三角形即可

②只要*△AEF≌△CBF（SAS）即可；

③假設BF2=FG•FC，則△FBG∽△FCB，推出∠FBG=∠FCB=45°，由∠ACF=45°，推出∠ACB=90°，顯然不可能，故③錯誤，

④由△ADF∽△GBF，可得，由EG∥CD，推出，推出，由AD=AE，得EG•AE=BG•AB，故④正確，

【詳解】

①DE平分∠ADC，∠ADC為直角，

∴∠ADE=×90°=45°，

∴△ADE為等腰直角三角形，

∴AD=AE，

又∵四邊形ABCD矩形，

∴AD=BC，

∴AE=BC

②∵∠BFE=90°，∠BEF=∠AED=45°，

∴△BFE為等腰直角三角形，

∴則有EF=BF

又∵∠AEF=∠DFB+∠ABF=135°，∠CBF=∠ABC+∠ABF=135°，

∴∠AEF=∠CBF

在△AEF和△CBF中，AE=BC，∠AEF=∠CBF，EF=BF，

∴△AEF≌△CBF（SAS）

∴AF=CF

③假設BF2=FG•FC，則△FBG∽△FCB，

∴∠FBG=∠FCB=45°，

∵∠ACF=45°，

∴∠ACB=90°，顯然不可能，故③錯誤，

④∵∠BGF=180°-∠CGB，∠DAF=90°+∠EAF=90°+（90°-∠AGF）=180°-∠AGF，∠AGF=∠BGC，

∴∠DAF=∠BGF，∵∠ADF=∠FBG=45°，

∴△ADF∽△GBF，

∴，

∵EG∥CD，

∴，

∴，∵AD=AE，

∴EG•AE=BG•AB，故④正確，

故選C．

【點睛】

本題考查相似三角形的判定和*質、矩形的*質、等腰直角三角形的判定和*質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題.

知識點：特殊的平行四邊形

題型：選擇題