問題詳情:
如圖,正方形ABCD的邊長為4,點E,F分別在邊AB,AD上,且∠ECF=45°,CF的延長線交BA的延長線於點G,CE的延長線交DA的延長線於點H,連接AC,EF.,GH.
(1)填空:∠AHC ∠ACG;(填“>”或“<”或“=”)
(2)線段AC,AG,AH什麼關係?請説明理由;
(3)設AE=m,
①△AGH的面積S有變化嗎?如果變化.請求出S與m的函數關係式;如果不變化,請求出定值.
②請直接寫出使△CGH是等腰三角形的m值.
【回答】
(1)=;(2)結論:AC2=AG•AH.理由見解析;(3)①△AGH的面積不變.②m的值為或2或8﹣4..
【解析】
(1)*∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°,∠ACH+∠ACG=45°,即可推出∠AHC=∠ACG;
(2)結論:AC2=AG•AH.只要*△AHC∽△ACG即可解決問題;
(3)①△AGH的面積不變.理由三角形的面積公式計算即可;
②分三種情形分別求解即可解決問題.
【詳解】
(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=CB=CD=DA=4,∠D=∠DAB=90°∠DAC=∠BAC=45°,
∴AC=,
∵∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°,∠ACH+∠ACG=45°,
∴∠AHC=∠ACG.
故*為=.
(2)結論:AC2=AG•AH.
理由:∵∠AHC=∠ACG,∠CAH=∠CAG=135°,
∴△AHC∽△ACG,
∴,
∴AC2=AG•AH.
(3)①△AGH的面積不變.
理由:∵S△AGH=•AH•AG=AC2=×(4)2=16.
∴△AGH的面積為16.
②如圖1中,當GC=GH時,易*△AHG≌△BGC,
可得AG=BC=4,AH=BG=8,
∵BC∥AH,
∴,
∴AE=AB=.
如圖2中,當CH=HG時,
易*AH=BC=4,
∵BC∥AH,
∴=1,
∴AE=BE=2.
如圖3中,當CG=CH時,易*∠ECB=∠DCF=22.5.
在BC上取一點M,使得BM=BE,
∴∠BME=∠BEM=45°,
∵∠BME=∠MCE+∠MEC,
∴∠MCE=∠MEC=22.5°,
∴CM=EM,設BM=BE=m,則CM=EMm,
∴m+m=4,
∴m=4(﹣1),
∴AE=4﹣4(﹣1)=8﹣4,
綜上所述,滿足條件的m的值為或2或8﹣4.
【點睛】
本題屬於四邊形綜合題,考查了正方形的*質,全等三角形的判定和*質,相似三角形的判定和*質等知識,解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題.
知識點:相似三角形
題型:解答題