問題詳情:
已知數列{an}的前三項分別為a1=5,a2=6,a3=8,且數列{an}的前n項和Sn滿足Sn+m=(S2n+S2m)-(n-m)2,其中m,n為任意正整數.
(1)求數列{an}的通項公式及前n項和Sn;
(2)求滿足S-an+33=k2的所有正整數k,n.
【回答】
解 (1)在等式Sm+n=(S2n+S2m)-(n-m)2中,分別令m=1,m=2,得
Sn+1=(S2n+S2)-(n-1)2,①
Sn+2=(S2n+S4)-(n-2)2,②
②-①,得an+2=2n-3+.(3分)
在等式Sn+m=(S2n+S2m)-(n-m2)中,令n=1,m=2,得S3=(S2+S4)-1,由題設知,S2=11,S3=19,故S4=29.
所以an+2=2n+6(n∈N*),即an=2n+2(n≥3,n∈N*).
又a2=6也適合上式,
故an= (5分)
Sn=即Sn=n2+3n+1,n∈N*.(6分)
(2)記S-an+33=k2(*).
n=1時,無正整數k滿足等式(*).
n≥2時,等式(*)即為(n2+3n+1)2-3(n-10)=k2.(8分)
①當n=10時,k=131.(9分)
②當n>10時,則k<n2+3n+1,
又k2-(n2+3n)2=2n2+3n+31>0,所以k>n2+3n.
從而n2+3n<k<n2+3n+1.
又因為n,k∈N*,所以k不存在,從而無正整數k滿足等式(*).(12分)
③當n<10時,則k>n2+3n+1,因為k∈N*,所以k≥n2+3n+2.
從而(n2+3n+1)2-3(n-10)≥(n2+3n+2)2.
即2n2+9n-27≤0.因為n∈N*,所以n=1或2.(14分)
n=1時,k2=52,無正整數解;
n=2時,k2=145,無正整數解.
綜上所述,滿足等式(*)的n,k分別為n=10,k=131.(16分)
知識點:數列
題型:解答題