如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D是BC上一動點，連接AD，過點A作AE⊥AD，並且始終保...

問題詳情：

如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D是BC上一動點，連接AD，過點A作AE⊥AD，並且始終保持AE＝AD，連接CE．

（1）求*：△ABD≌△ACE；

（2）若AF平分∠DAE交BC於F，探究線段BD，DF，FC之間的數量關係，並*；

（3）在（2）的條件下，若BD＝3，CF＝4，求AD的長．

【回答】

（1）*：∵AE⊥AD，

∴∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，

又∵∠BAC＝∠DAC+∠1＝90°，

∴∠1＝∠2，

在△ABD和△ACE中

，

∴△ABD≌△ACE．

（2）解：結論：BD2+FC2＝DF2．理由如下：

連接FE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠3＝45°

由（1）知△ABD≌△ACE

∴∠4＝∠B＝45°，BD＝CE

∴∠ECF＝∠3+∠4＝90°，

∴CE2+CF2＝EF2，

∴BD2+FC2＝EF2，

∵AF平分∠DAE，

∴∠DAF＝∠EAF，

在△DAF和△EAF中

，

∴△DAF≌△EAF

∴DF＝EF

∴BD2+FC2＝DF2．

（3）解：過點A作AG⊥BC於G，

由（2）知DF2＝BD2+FC2＝32+42＝25

∴DF＝5，

∴BC＝BD+DF+FC＝3+5+4＝12，

∵AB＝AC，AG⊥BC，

∴BG＝AG＝BC＝6，

∴DG＝BG﹣BD＝6﹣3＝3，

∴在Rt△ADG中，AD＝＝＝3．

知識點：勾股定理

題型：解答題