問題詳情:
如圖①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.求作菱形DEFG,使點D在邊AC上,點E、F在邊AB上,點G在邊BC上.
小明的作法
1.如圖②,在邊AC上取一點D,過點D作DG∥AB交BC於點G.
2.以點D為圓心,DG長為半徑畫弧,交AB於點E.
3.在EB上截取EF=ED,連接FG,則四邊形DEFG為所求作的菱形.
(1)*小明所作的四邊形DEFG是菱形.
(2)小明進一步探索,發現可作出的菱形的個數隨着點D的位置變化而變化……請你繼續探索,直接寫出菱形的個數及對應的CD的長的取值範圍.
【回答】
【分析】(1)根據鄰邊相等的四邊形是菱形*即可.
(2)求出幾種特殊位置的CD的值判斷即可.
【解答】(1)*:∵DE=DG,EF=DE,
∴DG=EF,
∵DG∥EF,
∴四邊形DEFG是平行四邊形,
∵DG=DE,
∴四邊形DEFG是菱形.
(2)如圖1中,當四邊形DEFG是正方形時,設正方形的邊長為x.
在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB==5,
則CD=x,AD=x,
∵AD+CD=AC,
∴+x=3,
∴x=,
∴CD=x=,
觀察圖象可知:0≤CD<時,菱形的個數為0.
如圖2中,當四邊形DAEG是菱形時,設菱形的邊長為m.
∵DG∥AB,
∴=,
∴=,
解得m=,
∴CD=3﹣=,
如圖3中,當四邊形DEBG是菱形時,設菱形的邊長為n.
∵DG∥AB,
∴=,
∴=,
∴n=,
∴CG=4﹣=,
∴CD==,
觀察圖象可知:當0≤CD<或<CD≤時,菱形的個數為0,當CD=或<CD≤時,菱形的個數為1,當<CD≤時,菱形的個數為2.
【點評】本題考查相似三角形的判定和*質,菱形的判定和*質,作圖﹣複雜作圖等知識,解題的關鍵是學會尋找特殊位置解決問題,屬於中考常考題型,題目有一定難度.
知識點:各地中考
題型:解答題