問題詳情:
如圖①,Rt△ABC中,∠B=90°∠CAB=30°,AC⊥x軸.它的頂點A的座標為(10,0),頂點B的座標為,點P從點A出發,沿A→B→C的方向勻速運動,同時點Q從點D(0,2)出發,沿y軸正方向以相同速度運動,當點P到達點C時,兩點同時停止運動,設運動的時間為t秒.
(1)求∠BAO的度數.(直接寫出結果)
(2)當點P在AB上運動時,△OPQ的面積S與時間t(秒)之間的函數圖象為拋物線的一部分(如圖②),求點P的運動速度.
(3)求題(2)中面積S與時間t之間的函數關係式,及面積S取最大值時,點P的座標.
(4)如果點P,Q保持題(2)中的速度不變,當t取何值時,PO=PQ,請説明理由.
【回答】
解:(1)如圖,
過點B作BE⊥OA於E,則OE=5,BE=5,OA=10,
∴AE=5,Rt△ABE中,tan∠BAO==,
∴∠BAO=60°;
(2)由圖形可知,當點P運動了5秒時,它到達點B,此時AB=10,因此點P的運動速度為10÷5=2個單位/秒,
點P的運動速度為2個單位/秒;
(3)P(10﹣t, t)(0≤t≤5),
∵S=(2t+2)(10﹣t),
=﹣(t﹣)2+,
∴當時,S有最大值為,
此時;
(4)當P在AB上時,根據P點縱座標得出:
,
解得:,
當P在BC上時,,
此方程無解,故t不存在,
綜上所知當t=時,PO=PQ.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題