問題詳情:
已知D是Rt△ABC斜邊AB的中點,∠ACB=90°,∠ABC=30°,過點D作Rt△DEF使∠DEF=90°,∠DFE=30°,連接CE並延長CE到P,使EP=CE,連接BE,FP,BP,設BC與DE交於M,PB與EF交於N.
(1)如圖1,當D,B,F共線時,求*:
①EB=EP;
②∠EFP=30°;
(2)如圖2,當D,B,F不共線時,連接BF,求*:∠BFD+∠EFP=30°.
【回答】
【解答】*(1)①∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,
∴∠A=90°﹣30°=60°,
同理∠EDF=60°,
∴∠A=∠EDF=60°,
∴AC∥DE,
∴∠DMB=∠ACB=90°,
∵D是Rt△ABC斜邊AB的中點,AC∥DM,
∴,
即M是BC的中點,
∵EP=CE,即E是PC的中點,
∴ED∥BP,
∴∠CBP=∠DMB=90°,
∴△CBP是直角三角形,
∴BE=PC=EP;
②∵∠ABC=∠DFE=30°,
∴BC∥EF,
由①知:∠CBP=90°,
∴BP⊥EF,
∵EB=EP,
∴EF是線段BP的垂直平分線,
∴PF=BF,
∴∠PFE=∠BFE=30°;
(2)如圖2,延長DE到Q,使EQ=DE,連接CD,PQ,FQ,
∵EC=EP,∠DEC=∠QEP,
∴△QEP≌△DEC(SAS),
則PQ=DC=DB,
∵QE=DE,∠DEF=90°
∴EF是DQ的垂直平分線,
∴QF=DF,
∵CD=AD,
∴∠CDA=∠A=60°,
∴∠CDB=120°,
∴∠FDB=120°﹣∠FDC=120°﹣(60°+∠EDC)=60°﹣∠EDC=60°﹣∠EQP=∠FQP,
∴△FQP≌△FDB(SAS),
∴∠QFP=∠BFD,
∵EF是DQ的垂直平分線,
∴∠QFE=∠EFD=30°,
∴∠QFP+∠EFP=30°,
∴∠BFD+∠EFP=30°.
【分析】(1)①*△CBP是直角三角形,根據直角三角形斜邊中線可得結論;
②根據同位角相等可得BC∥EF,由平行線的*質得BP⊥EF,可得EF是線段BP的垂直平分線,根據等腰三角形三線合一的*質可得∠PFE=∠BFE=30°;
(2)如圖2,延長DE到Q,使EQ=DE,連接CD,PQ,FQ,*△QEP≌△DEC(SAS),則PQ=DC=DB,由QE=DE,∠DEF=90°,知EF是DQ的垂直平分線,*△FQP≌△FDB(SAS),再由EF是DQ的垂直平分線,可得結論.
知識點:各地中考
題型:綜合題