問題詳情:
如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,點E在BC邊上,且CA=CE,過A,C,E三點的⊙O交AB於另一點F,作直徑AD,連結DE並延長交AB於點G,連結CD,CF.
(1)求*:四邊形DCFG是平行四邊形.
(2)當BE=4,CD=AB時,求⊙O的直徑長.
【回答】
【分析】(1)連接AE,由∠BAC=90°,得到CF是⊙O的直徑,根據圓周角定理得到∠AED=90°,即GD⊥AE,推出CF∥DG,推出AB∥CD,於是得到結論;
(2)設CD=3x,AB=8x,得到CD=FG=3x,於是得到AF=CD=3x,求得BG=8x﹣3x﹣3x=2x,求得BC=6+4=10,根據勾股定理得到AB==8=8x,求得x=1,在Rt△ACF中,根據勾股定理即可得到結論.
【解答】(1)*:連接AE,
∵∠BAC=90°,
∴CF是⊙O的直徑,
∵AC=EC,
∴CF⊥AE,
∵AD是⊙O的直徑,
∴∠AED=90°,
即GD⊥AE,
∴CF∥DG,
∵AD是⊙O的直徑,
∴∠ACD=90°,
∴∠ACD+∠BAC=180°,
∴AB∥CD,
∴四邊形DCFG是平行四邊形;
(2)解:由CD=AB,
設CD=3x,AB=8x,
∴CD=FG=3x,
∵∠AOF=∠COD,
∴AF=CD=3x,
∴BG=8x﹣3x﹣3x=2x,
∵GE∥CF,
∴,
∵BE=4,
∴AC=CE=6,
∴BC=6+4=10,
∴AB==8=8x,
∴x=1,
在Rt△ACF中,AF=10,AC=6,
∴CF==3,
即⊙O的直徑長為3.
【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心,平行四邊形的判定和*質,勾股定理,圓周角定理,熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵.
知識點:各地中考
題型:解答題